Die Hartman-Watson-Verteilung ist eine absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie ist nach Philip Hartman und Geoffrey S. Watson benannt. Diese stießen auf die Verteilung bei der Untersuchung der Beziehung zwischen der brownschen Bewegung auf der
-Sphäre und der von-Mises-Verteilung.[1] Wichtige Arbeiten, inklusive eine explizite Form der Dichte in Integraldarstellung, stammen von Marc Yor.[2]
Die Verteilung findet Anwendung in der Finanzmathematik bei der Berechnung von Preisen von asiatischen Optionen mit dem Black-Scholes-Modell.
Hartman-Watson-Verteilung
Definition
Die Hartman-Watson-Verteilungen sind die Wahrscheinlichkeitsverteilungen
, die folgende Beziehung zur Laplace-Transformation erfüllen
,
wobei
die modifizierte Bessel-Funktion erster Gattung bezeichnet und wie folgt definiert ist
![{\displaystyle I_{\nu }(t):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {({\frac {t}{2}})^{2n+\nu }}{\Gamma (n+\nu +1)n!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aa1d0e895ec516d7645ec2f0a6f5f21cfd98ebc)
Explizite Darstellung
Die unnormierte Dichte der Hartman-Watson-Verteilung ist
![{\displaystyle \vartheta (r,t):={\frac {r}{(2\pi ^{3}t)^{1/2}}}e^{\pi ^{2}/2t}\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}/2t-r\cosh(x)}\sinh(x)\sin \left({\frac {\pi x}{t}}\right)\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a32ea1fccdc79de2c03ac7a3f57003a5bbb2c20)
für
.
Sie erfüllt die Gleichung
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-u^{2}t/2}\vartheta (r,t)\mathrm {d} t=I_{|u|}(r)\quad {\text{für}}\;\;r>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6522beaca27bd31790832c44e9c545f41b423826)
Die Dichte der Hartman-Watson-Verteilung ist für
definiert und gegeben durch
![{\displaystyle f_{r}(t)={\frac {\vartheta (r,t)}{I_{0}(t)}}\quad {\text{für}}\;\;r>0,\;t\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30790f33097faa48e94277c195d9935fa49cb927)
oder ausgeschrieben
.
Ein Satz von Yor über brownsche Exponentialfunktionale
Von Yor ([3]) stammt nachfolgende Aussage über den Zusammenhang zwischen der unnormierten Hartman-Watson-Dichte
und brownschen Exponentialfunktionalen.
Sei
eine eindimensionale brownsche Bewegung mit Drift
, die in
beginnt, und
sei durch das Funktional
![{\displaystyle A_{t}^{(\mu )}=\int _{0}^{t}\exp \left(2B_{s}^{(\mu )}\right)\mathrm {d} s\quad {\text{für}}\;\;t\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6122e755e0e8f456df16285977810bf6486b9d35)
definiert. Dann ist die Verteilung von
für
durch
![{\displaystyle P\left(A_{t}^{(\mu )}\in \mathrm {d} u,B_{t}^{(\mu )}\in \mathrm {d} x\right)=e^{\mu x-\mu ^{2}t/2}\exp \left(-{\frac {1+e^{2x}}{2u}}\right)\vartheta (e^{x}/u,t){\frac {1}{u}}\mathrm {d} u\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d797ec0442236a3aede2f8205fa8a2c223b2ead)
gegeben, wobei
und
.[4][A 1]
Einzelnachweise
- ↑ Philip Hartman und Geoffrey S. Watson: Normal" Distribution Functions on Spheres and the Modified Bessel Functions. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Probability. Band 2, Nr. 4, 1974, S. 593 -- 607, doi:10.1214/aop/1176996606.
- ↑ Marc Yor: Loi de l'indice du lacet Brownien, et distribution de Hartman-Watson. In: Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw Gebiete. Band 53, 1980, S. 71–95, doi:10.1007/BF00531612.
- ↑ Marc Yor: On Some Exponential Functionals of Brownian Motion. In: Advances in Applied Probability. Band 24, Nr. 3, 1992, S. 509–531, doi:10.2307/1427477.
- ↑ Hiroyuki Matsumoto und Marc Yor: Exponential functionals of Brownian motion, I: Probability laws at fixed time. In: Institute of Mathematical Statistics and Bernoulli Society (Hrsg.): Probability Surveys. Band 2, 2005, S. 312 - 347, doi:10.1214/154957805100000159.
Bemerkungen
- ↑
ist eine andere Schreibweise für ein Wahrscheinlichkeitsmaß
.
Diskrete univariate Verteilungen
Kontinuierliche univariate Verteilungen
Multivariate Verteilungen