Rationaler Funktionenkörper

Ein rationaler Funktionenkörper ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra. Dieses Objekt hat die algebraische Struktur eines Körpers.

Der rationale Funktionenkörper ${\displaystyle K(X)}$ ist der Quotientenkörper des Polynomrings ${\displaystyle K[X]}$ über einem Körper ${\displaystyle K}$. Die Konstruktion von ${\displaystyle K(X)}$ ist analog zu jener der rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen. Die Elemente ${\displaystyle r\in K(X)}$ können also als ${\displaystyle r={\tfrac {f}{g}}}$ mit Polynomen ${\displaystyle f,g\in K[X]}$, wobei ${\displaystyle g}$ nicht das Nullpolynom ist, geschrieben werden.

Die Namensgebung ist traditionell, aber mit etwas Vorsicht zu genießen:

• Erstens muss man die Unterschiede zwischen Polynomen und Polynomfunktionen betrachten. Jedes Polynom induziert eine Polynomfunktion, aber die Zuordnung Polynom ${\displaystyle \rightarrow }$ Polynomfunktion ist nur dann injektiv, wenn der Körper ${\displaystyle K}$ unendlich ist. Beispiel: Ist ${\displaystyle K=\mathbb {F} _{2}}$ der Körper mit 2 Elementen, so induzieren ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle X^{2}}$ die gleiche Funktion auf ${\displaystyle K}$. Trotzdem sind sie als Elemente des rationalen Funktionenkörpers nicht gleich.
• Zweitens hat in der Regel der Nenner ${\displaystyle g}$ Nullstellen. Dementsprechend ist die rationale Funktion nicht auf ganz ${\displaystyle K}$ definiert, sondern nur auf einer Zariski-offenen Teilmenge.

Beispiel: Für ${\displaystyle K=\mathbb {F} _{3}}$ gilt zwar ${\displaystyle {\tfrac {1}{X^{3}-X}}}$ als rationale Funktion auf ${\displaystyle K}$ im Sinne der obigen Definition – aber der Definitionsbereich ist leer.

Die Körpererweiterung ${\displaystyle K(X)/K}$ ist rein transzendent und damit insbesondere unendlich. Es lässt sich mit Hilfe der verallgemeinerten Partialbruchzerlegung sogar eine ${\displaystyle K}$-Basis des ${\displaystyle K}$-Vektorraums ${\displaystyle K(X)}$ angeben.

Der rationale Funktionenkörper ${\displaystyle \displaystyle K(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ in den Variablen ${\displaystyle \displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ ist analog definiert als der Quotientenkörper des Polynomrings ${\displaystyle \displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$.

Der rationale Funktionenkörper kann durch sukzessives Adjungieren einer Variablen ${\displaystyle \displaystyle X_{i}}$ und anschließendes Bilden des Quotientenkörpers konstruiert werden. Also:

${\displaystyle \displaystyle K(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ ist der Quotientenkörper des Polynomrings ${\displaystyle \displaystyle K(X_{1},\ldots ,X_{n-1})[X_{n}]}$, also des Polynomrings über dem Körper ${\displaystyle \displaystyle K(X_{1},\ldots ,X_{n-1})}$ in der Variable ${\displaystyle \displaystyle X_{n}}$

In der algebraischen Geometrie werden Funktionenkörper von affinen Varietäten betrachtet: Sei der Körper ${\displaystyle K}$ algebraisch abgeschlossen und ${\displaystyle V}$ eine affine Varietät im ${\displaystyle K^{n}}$. Dann ist das Ideal ${\displaystyle I(V)}$ ein Primideal im Polynomring ${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$, weshalb der Koordinatenring ${\displaystyle K[V]}$, d. h. der Quotientenring ${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/I(V)}$, ein Integritätsbereich ist.

Der Quotientenkörper ${\displaystyle K(V)}$ des Koordinatenrings ${\displaystyle K[V]}$ heißt dann Funktionenkörper von ${\displaystyle V}$. Seine Elemente heißen rationale Funktionen auf ${\displaystyle V}$ und dürfen tatsächlich als Funktionen auf (nicht leeren) offenen Teilmengen von ${\displaystyle V}$ betrachtet werden.

• Siegfried Bosch: Algebra. 8. Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2013, ISBN 978-3-642-39566-6, S. 63, doi:10.1007/978-3-642-39567-3 (${\displaystyle K(X)}$ und ${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$). 
• Klaus Hulek: Elementare Algebraische Geometrie. 2. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2012, ISBN 978-3-8348-1964-2, S. 41, doi:10.1007/978-3-8348-2348-9 (Algebraische Geometrie).