Filtr Czebyszewa

Filtr Czebyszewa – rodzaj filtru elektrycznego, którego charakterystyczną cechą jest wykorzystanie wielomianów Czebyszewa do aproksymacji charakterystyki częstotliwościowej amplitudowej. Optymalizacja przebiegu charakterystyki częstotliwościowej amplitudowej w filtrach Czebyszewa ma kluczowe znaczenie, przebieg charakterystyki częstotliwościowej fazowej, silnie nieliniowy, ma znaczenie drugorzędne.

Typy filtrów Czebyszewa

Wyróżnia się dwa typy filtrów Czebyszewa:

• filtr Czebyszewa I typu – ma zafalowania przebiegu wzmocnienia w paśmie przepustowym, oraz płaski przebieg charakterystyki w paśmie zaporowym,
• filtr Czebyszewa II typu (inwersyjny) – ma zafalowania przebiegu wzmocnienia w paśmie zaporowym, oraz płaski przebieg charakterystyki w paśmie przepustowym.

Typ II (inwersyjny)

Filtr Czebyszewa inwersyjny (II typu) w stosunku do podstawowego filtru Czebyszewa (I typu) wykazuje zafalowania przebiegu wzmocnienia w paśmie zaporowym oraz płaski przebieg charakterystyki w paśmie przepustowym.

Podstawowe właściwości filtru Czebyszewa II typu, dla czytelności opisu, omawiane są w oparciu o filtr prototypowy dolnoprzepustowy (FDP):

• operowanie częstotliwością znormalizowaną ${\displaystyle \Omega ,}$
• konwersja do filtrów górno- i pasmowoprzepustowych przez stosowne podstawienia operatora ${\displaystyle s}$ dla otrzymanych transmitancji ${\displaystyle K(s).}$

Oznaczenia charakterystyk amplitudowych częstotliwościowych FDP

Kwadrat modułu transmitancji ${\displaystyle K(s)}$ filtru Czebyszewa II typu, w ujęciu widmowym ${\displaystyle (s=j\omega ),}$ dany jest następującym wzorem:

${\displaystyle |K(\Omega )|^{2}=K(S)\cdot K(-S)={\frac {1}{1+\epsilon ^{2}\cdot {\frac {T_{N}^{2}\cdot \left({\frac {\Omega _{zap}}{\Omega _{c}}}\right)}{T_{N}^{2}\left({\frac {\Omega _{zap}}{\Omega }}\right)}}}},}$

gdzie:

${\displaystyle A_{max}}$ – przyjmuje się wartość 3 dB,

${\displaystyle \epsilon }$ – współczynnik zafalowań w paśmie przepustowym, ${\displaystyle \epsilon ={\sqrt {10^{0{,}1A_{max}}-1}},}$ stąd: ${\displaystyle \epsilon =1,}$

${\displaystyle \Omega _{zap}}$ – jak zaznaczono na pow. charakterystyce FDP,

${\displaystyle \Omega _{c}=1,}$

${\displaystyle T_{N}}$ – wielomian Czebyszewa rzędu ${\displaystyle N.}$

Na podstawie powyższego wzoru oblicza się bieguny transmitancji ${\displaystyle K(s){:}}$

${\displaystyle s_{v}={\frac {\Omega _{zap}}{\sigma \cdot \sin \left({\frac {2v-1}{N}}\cdot {\frac {\Pi }{2}}\right)\pm j\cdot \omega _{HA}\cdot \cos \left({\frac {2v-1}{N}}\cdot {\frac {\Pi }{2}}\right)}},}$

gdzie:

${\displaystyle v_{max}=1,2,\dots ,N,}$

${\displaystyle A_{min}}$ – jak zaznaczono na pow. charakterystyce FDP,

${\displaystyle \omega _{HA}=\cosh \left({\frac {1}{N}}\cdot \sinh ^{-1}{\sqrt {10^{0,1\cdot A_{min}}-1}}\right),}$

${\displaystyle \sigma _{HA}={\sqrt {\omega _{HA}^{2}-1}}}$

oraz zera transmitancji ${\displaystyle K(s){:}}$

${\displaystyle \omega _{0\mu }=\pm {\frac {\Omega {zap}}{\cos({\frac {2\mu -1}{N}}\cdot {\frac {\Pi }{2}})}},}$

gdzie:

${\displaystyle \mu _{max}={\begin{Bmatrix}{\frac {N-1}{2}}\quad {\text{dla N-nieparzystych}}\\{\frac {N}{2}}\quad {\text{dla N-parzystych}}\end{Bmatrix}}.}$

Po obliczeniu biegunów i zer następuje podstawienie (biegunów tylko tych, których części ${\displaystyle Re<0}$ !) do wzoru na transmitancję ${\displaystyle K(s){:}}$

${\displaystyle K(s)={\frac {\prod _{\mu =1}^{\mu =max}\cdot (s^{2}+\omega _{o\mu }^{2})}{\prod _{v=1}^{v=max}\cdot (s-s_{v})}},}$

gdzie:

${\displaystyle \mu _{max}={\begin{Bmatrix}{\frac {N-1}{2}}\quad {\text{dla N-nieparzystych}}\\{\frac {N}{2}}\quad {\text{dla N-parzystych}}\end{Bmatrix}},}$

${\displaystyle v_{max}=1,2,\dots ,N.}$

Przykład

Przykładowa transmitancja ${\displaystyle K(s)}$ dla filtru FDP rzędu 3 ${\displaystyle (N=3)}$ o parametrach ${\displaystyle \Omega _{zap}=1{,}15,}$ ${\displaystyle A_{min}=9\ {\text{dB}}{:}}$

${\displaystyle K(s)={\frac {s^{2}+1{,}3279^{2}}{(s^{2}+0{,}6199\cdot s+1{,}1974)\cdot (s+1{,}9315)}}.}$

Właściwości filtru Czebyszewa inwersyjnego (II typu)

Przy założeniu parametrów pasma przepustowego: ${\displaystyle A_{max}}$ = 3 dB @ ${\displaystyle \Omega _{c}}$ = 1, główne właściwości filtru Czebyszewa II typu są następujące:

• przy stałym rzędzie ${\displaystyle N}$ filtru, istotna jest zależność pomiędzy ${\displaystyle A_{min}}$ a ${\displaystyle \Omega _{zap},}$
• gdy wartości ${\displaystyle \Omega _{zap}}$ bliskie ${\displaystyle \Omega _{c}}$ = 1 – powodują zmniejszanie wartości ${\displaystyle A_{min}}$ (zjawisko niekorzystne),
• gdy ${\displaystyle \Omega _{zap}\ll 1,}$ wtedy zwiększa się wartość ${\displaystyle A_{min}}$ (zmniejszenie zafalowań w paśmie zaporowym), ale również poszerza się pasmo przejściowe.

Bibliografia

• Izydorczyk J., Płonka G., Tyma G.: Teoria sygnałów, Helion, Gliwice 1999.
• G. Fritzsche, Entwurf linearer Schaltungen, VEB Verlag Technik, 1962.

Linki zewnętrzne

• Materiały dydaktyczne DSP AGH. dsp.agh.edu.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2013-12-03)].