Komutant

Komutant – szczególna podgrupa danej grupy pomocna przy badaniu jej przemienności.

Definicja

Niech ${\displaystyle G}$ będzie grupą, zaś ${\displaystyle A,\ B\subseteq G}$ dowolnymi jej podzbiorami. Komutantem ${\displaystyle [A,B]}$ zbiorów ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ nazywa się podgrupę generowaną przez wszystkie komutatory ${\displaystyle [a,b]=aba^{-1}b^{-1},}$ gdzie ${\displaystyle a\in A}$ i ${\displaystyle b\in B.}$

Komutantem lub pochodną grupy ${\displaystyle G}$ nazywa się komutant ${\displaystyle [G,G]}$ oznaczany też ${\displaystyle G'}$ lub ${\displaystyle G^{(1)}.}$ Indukcyjnie definiuje się także n-tą pochodną grupy ${\displaystyle G}$ jako: ${\displaystyle G^{(n+1)}={\big [}G^{(n)},G^{(n)}{\big ]};}$ definiuje się również ${\displaystyle G^{(0)}=G.}$

Własności

• Jeżeli dla pewnego ${\displaystyle n}$ grupa ${\displaystyle G^{(n)}}$ jest trywialna, to ${\displaystyle G}$ jest grupą rozwiązalną (jest to jedna z alternatywnych definicji).
• Jeżeli grupa ${\displaystyle [G,\;G]}$ jest trywialna, to ${\displaystyle G}$ jest abelowa.
• Komutant grupy jest jej podgrupą charakterystyczną, a zatem podgrupą normalną.

Abelianizacja

Grupę ilorazową ${\displaystyle G/[G,G]}$ oznaczaną ${\displaystyle G_{\mathrm {ab} }}$ bądź ${\displaystyle G^{\mathrm {ab} }}$ nazywa się abelianizacją bądź uprzemiennieniem grupy ${\displaystyle G.}$ Abelianizacja grupy, jak sama nazwa wskazuje, jest grupą abelową. Jest to największa grupa abelowa będąca obrazem ${\displaystyle G.}$ Co więcej, grupa ilorazowa ${\displaystyle G/H}$ jest abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle H}$ zawiera ${\displaystyle [G,G].}$ „Wysoce nieprzemienne” grupy, czyli takie, których abelianizacje są grupami trywialnymi nazywane są grupami doskonałymi.

Zobacz też

• grupa doskonała
• grupa rozwiązalna

Bibliografia

• A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.
• Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4.