Złota spirala

Przybliżona oraz dokładna złota spirala: zielona spirala jest zbudowana z ćwiartek okręgów, natomiast czerwona spirala jest złotą spiralą. Pokrywające się fragmenty zaznaczono na żółto. Stosunki długości boków kolejnych kwadratów są równe φ.
Spirala Fibonacciego, zbudowana z ćwiartek okręgów, których promienie są kolejnymi liczbami Fibonacciego. Jest przybliżeniem złotej spirali, ale nie jest złotą spiralą

Złota spirala – szczególny przypadek spirali logarytmicznej, w której współczynnik b {\displaystyle b} jest stałą zależną od φ {\displaystyle \varphi } (gdzie φ {\displaystyle \varphi } jest „złotą liczbą”). Cechą charakterystyczną złotej spirali jest to, że co 90° jej szerokość zwiększa się (lub zmniejsza) dokładnie φ {\displaystyle \varphi } razy.

Wzór

Ogólne wzory na spiralę logarytmiczną we współrzędnych biegunowych:

r = a e b θ {\displaystyle r=ae^{b\theta }}

oraz

θ = 1 b ln ⁡ ( r / a ) , {\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),}

(gdzie e {\displaystyle e} – podstawa logarytmu naturalnego) mają również zastosowanie w przypadku złotej spirali. W tym przypadku θ {\displaystyle \theta } jest kątem prostym, b {\displaystyle b} jest stałą rzeczywistą, zaś r / a = φ {\displaystyle r/a=\varphi } (gdzie φ {\displaystyle \varphi } jest „złotą liczbą”). Stąd mamy wzór:

e b θ = φ . {\displaystyle e^{b\theta }=\varphi .}

Wartość b {\displaystyle b} wyraża się wzorem:

b = ln ⁡ φ θ . {\displaystyle b={\frac {\ln {\varphi }}{\theta }}.}

Wartość b {\displaystyle b} może być dodatnia lub ujemna, w zależności od tego, w którą stronę skierowany jest kąt prosty θ . {\displaystyle \theta .} Wartość bezwzględna z b {\displaystyle b} wynosi:

| b | = ln ⁡ φ 90 ∘ = 0,005 3468 1 ∘ {\displaystyle |b|={\frac {\ln \varphi }{90^{\circ }}}={\frac {0{,}0053468}{1^{\circ }}}} dla θ {\displaystyle \theta } wyrażonego w stopniach;
| b | = ln ⁡ φ π / 2 = 0,306 349 {\displaystyle |b|={\frac {\ln \varphi }{\pi /2}}=0{,}306349} dla θ {\displaystyle \theta } wyrażonego w radianach.

Przybliżenia złotej spirali

Znanych jest wiele spiral będących przybliżeniami złotej spirali i często mylonych z nią. Przykładem może być spirala Fibonacciego, która nie jest spiralą logarytmiczną.

Zobacz też

Bibliografia

  • Fractals in Music: introductory mathematics for musical analysis. High Art Press, 1999, s. 14–16. ISBN 0-9671727-6-4. (ang.).
  • Divine Proportion: Φ Phi in Art, Nature, and Science. Sterling Publishing Co, 2005, s. 127–129. ISBN 1-4027-3522-7. (ang.).

Linki zewnętrzne

  • Golden Spiral demonstracja autorstwa Yu-Sung Chang, The Wolfram Demonstrations Project