Soma direta

O conceito de soma direta é recorrente em álgebra, se aplicando a diversas estruturas algébricas, como grupos, anéis e espaços vetoriais. A soma direta é o que, em teoria das categorias, é conhecido por coproduto de estruturas algébricas.

Soma direta de espaços vetoriais

Sejam ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ dois espaços vetoriais sobre um campo ${\displaystyle K}$ tais que ${\displaystyle V\cap W=\left\{0\right\}}$. O espaço vetorial ${\displaystyle V\oplus W,}$ resultante da soma direta entre ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W,}$ é definido da seguinte forma:^[1]

$${\displaystyle V\oplus W=\left\{{\vec {v}}+{\vec {w}}\,|\,{\vec {v}}\in V,{\vec {w}}\in W\right\}}$$

Soma direta de grupos abelianos

Dada uma família ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{G_{i}\}_{i\in I}}$ de grupos abelianos, definimos a soma direta de ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ denotada por ${\displaystyle \oplus _{i\in I}G_{i},}$ como sendo o grupo cujos elementos são ${\displaystyle I}$-uplas ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ cujas entradas são todas nulas, a menos um de um subconjunto finito de índices em ${\displaystyle I,}$ e cuja soma entre ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I},(y_{i})_{i\in I}\in \oplus _{i\in I}S_{i}}$ é ${\displaystyle (x_{i}+y_{i})_{i\in I}.}$ Utilizamos aqui a notação aditiva de grupos^[2].

Soma direta de dois grupos

Ver artigo principal: Grupo livre

A soma direta de dois grupos G e H é (pela definição de coproduto) o grupo mais genérico contendo subgrupos isomórficos a G e a H, e em que cada elemento é o produto (finito) de elementos destes subgrupos.

Identificando G e H com os subgrupos da soma direta, temos, por exemplo, que se x for um elemento de G e y um elemento de H, x²y¹⁰x^-1yx^-3 será um elemento da soma direta.

De modo geral, qualquer elemento da soma direta é uma expressão da forma:^[3]

$${\displaystyle g_{1}^{k_{1}}h_{2}^{k_{2}}g_{3}^{k_{3}}\ldots h_{n}^{k_{n}}}$$

em que os gs pertencem ao subgrupo isomórfico a G, os hs ao subgrupo isomórfico a H. Esta representação não é única, pois alguns g e h podem ser o elemento neutro da soma direta^[3].

Referências

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