Abc-гипотеза

abc-гипотеза (гипотеза Эстерле — Массера) — утверждение в теории чисел, сформулированное независимо друг от друга математиками Дэвидом Массером в 1985 году^[1] и Джозефом Эстерле в 1988 году^[2].

Доказательство abc-гипотезы долгое время было одной из главных нерешённых проблем теории чисел, и остается таковой до сих пор. Статус этой проблемы в настоящее время спорный. Подтвердить или опровергнуть доказательство Мотидзуки, полученное в 2012 году, пока не удалось.

Для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует постоянная ${\displaystyle K(\varepsilon )}$, при которой для любых трёх взаимно простых целых чисел ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$, таких, что ${\displaystyle a+b=c}$, выполняется неравенство

${\displaystyle \max {\big (}|a|,|b|,|c|{\big )}\leqslant K(\varepsilon )\cdot {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}^{1+\varepsilon },}$

где ${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)}$ — радикал числа ${\displaystyle abc}$, то есть число, равное произведению простых делителей произведения ${\displaystyle abc}$.

• Не теряя общности, можно рассматривать только упорядоченные по возрастанию натуральные числа ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$. Тогда неравенство сводится к следующему:

  ${\displaystyle c\leqslant K(\varepsilon )\cdot {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}^{1+\varepsilon }.}$

• Условие ${\displaystyle \varepsilon >0}$ необходимо. Для любого ${\displaystyle K}$ существует тройка взаимно простых чисел ${\displaystyle a,b,c=a+b}$ таких, что ${\displaystyle c>K\cdot \operatorname {rad} (abc)}$. Например тройка вида ${\displaystyle a=1,b=2^{2\cdot 3^{n}}-1,c=2^{2\cdot 3^{n}}}$, где ${\displaystyle K<3^{n-1}}$.

Из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Била для достаточно больших ${\displaystyle z}$, а из неё — справедливость великой теоремы Ферма для достаточно больших степеней^[3].

Из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Пиллаи, а из неё — справедливость гипотезы Каталана.

В 2007 году французский математик Люсьен Шпиро^[англ.], работами которого была вдохновлена сама abc-гипотеза, заявил, что ему удалось найти доказательство, однако вскоре было обнаружено, что оно ошибочно^[4].

В августе 2012 года авторитетный японский математик Синъити Мотидзуки заявил, что ему удалось доказать abc-гипотезу^[5][6]. Предложенное им доказательство оказалось исключительно сложным даже с точки зрения математиков-специалистов^[7].

Опубликовав доказательство в интернете, Мотидзуки отказался от всех предложений лично рассказать сообществу о своих результатах, но несколько математиков взялись за самостоятельную проверку доказательства при содействии Мотидзуки. Они публикуют отчёты о ходе этой работы^[8]. Начиная с конца 2015 года, Мотидзуки стал понемногу общаться с сообществом о своих результатах^[9]. На конец 2017 года в мире насчитывается от 10 до 20 специалистов по теории, созданной Мотидзуки^[10]. Таким образом, доказательство Синъити Мотидзуки общедоступно, не опровергнуто, но пока и не считается проверенным в научном сообществе. Длительное пребывание доказательства в этом неопределённом статусе необычно для математических доказательств^[10][11], в отличие от случаев, когда в доказательствах, которые считались проверенными и верными, обнаруживались ошибки.

В 2018 году Петер Шольце и Якоб Стикс — специалисты в областях, связанных с abc-гипотезой и работами Мотидзуки, — объявили, что в ключевом для доказательства abc-гипотезы месте теории Мотидзуки (которое давно вызывало особые трудности у математиков, пытавшихся разобраться в теории) имеется непоправимая ошибка^[12][7]. Мотидзуки ответил, что Стикс и Шольце неправильно интерпретировали некоторые ключевые аспекты его доказательства и поэтому сделали недопустимые упрощения^[13].

На 2020 год доказательство Мотидзуки всё ещё пребывает в неопределённом статусе, математическое сообщество не убеждено в его верности, несмотря на принятие доказательства к публикации в журнале Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences (PRIMS) научно-исследовательского института математических наук при Киотском университете (Япония) — института, в котором работает Мотидзуки^[14][15]. В марте 2021 года доказательство Мотидзуки было опубликовано в PRIMS^[16].

• Гипотеза Холла
• Теорема Мэйсона — Стотерса

• Иэн Стюарт. «Величайшие математические задачи». — М.: «Альпина нон-фикшн», 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1.

• Лекции про ABC-гипотезу (by Keith Conrad): Лекция 1, Лекция 2, Лекция 3, Лекция 4.
• Р. Борчердс, Undergraduate math talk: The abc conjecture на YouTube.