ECIES

ECIES (eng. Elliptic Curve Integrated Encryption Scheme) — это схема шифрования на открытых ключах, основанная на эллиптических кривых. Эта схема была предложена Виктором Шоупом^[англ.] в 2001 году. ECIES используется в различных стандартах, например, ANSI X9.63, IEEE 1363a, ISO 18033-2 и SECG SEC 1.

В 1997 году учёными Михиром Белларе^[англ.] и Филлипом Рогавэем^[англ.] была изобретена схема DLAES (Discrete Logarithm Augmented Encryption Scheme), которая впоследствии была переименована в DHAES (Diffie-Hellman Augmented Encryption Scheme) в 1998 году, а позже, во избежание путаницы с аббревиатурой AES, переименована в DHIES(Diffie-Hellman Integrated Encryption Scheme). DHIES представляет собой усовершенствованную схему Эль-Гамаля, в которой используются эллиптические кривые, различные алгоритмы имитовставки и хеш-функции.^[1]

DHIES была оценена ANSI и с некоторыми модификациями схема была включена в стандарт ANSI X9.63 в 2001 году. Так же, независимо, с некоторыми поправками схема была включена в стандарт IEEE 1363 в 2000 году. В 2004 году, когда стандарт ANSI X9.63 стал общедоступным, IEEE пересмотрела схему с учётом достоинств двух предыдущих из стандартов ANSI X9.63 и IEEE 1363 и включила новую схему в стандарт IEEE 1363a в 2004 году.

Все вышеперечисленные схемы получили общее название ECIES (Elliptic Curve Integrated Encryption Scheme).

В 2009 году одна из версий ECIES вошла в стандарт ISO/IEC 18033-2, а в 2009 в стандарт SECG SEC 1.^[1]

ECIES (Elliptic Curve Integrated Encryption Scheme) включает в себя несколько функций:

1. Key Agreement (KA)- функция для генерации общего секрета. Например, протокол Диффи — Хеллмана либо его модификации.
2. Key Derivation Function (KDF) — функция для генерации общих ключей из некоторого набора данных и параметров.
3. Encryption (ENC) — алгоритм шифрования, использующийся обеим сторонами.
4. Message Authentication Code (MAC) — функция для генерации аутентификационных данных (имитовставка).
5. Hash (HASH) — функция хеширования (используется в MAC и KDF).

Первая сторона — Алиса:^[2]

• ${\displaystyle P_{B}}$ — открытый ключ Боба
• ${\displaystyle p_{a}}$ — закрытый собственный ключ
• Ε — группа точек над эллиптической кривой
• G — циклическая подгруппа точек группы E эллиптической кривой
• g — генератор подгруппы G

Вторая сторона — Боб:^[2]

• ${\displaystyle P_{A}}$ — открытый ключ Алисы
• ${\displaystyle p_{b}}$ — закрытый собственный ключ
• Ε — группа точек над эллиптической кривой
• G — подгруппа точек группы E эллиптической кривой
• g — генератор подгруппы G

Предположим, Алиса хочет послать сообщение Бобу. У Алисы есть открытый ключ Боба ${\displaystyle P_{B}}$, у Боба — соответствующий закрытый ключ ${\displaystyle p_{b}}$, также Алиса генерирует временную пару своих открытого ${\displaystyle P_{A}}$ и закрытого ${\displaystyle p_{a}}$ ключей. Закрытые ключи — элементы конечного поля (поля, на котором задана эллиптическая кривая), а открытые ключи — точки, принадлежащие эллиптической кривой и вычисленные как произведение закрытого ключа и генератора g эллиптической кривой.^[3]

Для отправки сообщения Алиса выполняет следующие действия:^[3]

• С помощью метода генерации общего секрета KA Алиса вычисляет общий секрет ${\displaystyle s}$ = ${\displaystyle p_{a}}$ × ${\displaystyle P_{B}}$ (по протоколу Диффи — Хеллмана).

• Используя полученный общий секрет ${\displaystyle s}$ и метод получения ключей из ключевой и дополнительной информации KDF, Алиса получает ключ шифрования ${\displaystyle k_{ENC}}$, а также ключ для вычисления имитовставки ${\displaystyle k_{MAC}}$.

• С помощью симметричного алгоритма шифрования Алиса шифрует открытое сообщение ${\displaystyle m}$ ключом ${\displaystyle k_{ENC}}$ и получает шифротекст ${\displaystyle c}$.

• Взяв ключ ${\displaystyle k_{MAC}}$, зашифрованное сообщение ${\displaystyle c}$ и другие заранее обговорённые сторонами параметры, Алиса вычисляет тэг сообщения с помощью функции MAC.

• Алиса отсылает Бобу {${\displaystyle P_{A}}$, ${\displaystyle tag}$, ${\displaystyle c}$}.

Относительно процесса расшифрования шаги, которые должен выполнить Боб, являются следующими:^[4]

• С помощью полученного открытого ключа Алисы и своего закрытого ключа получить общий секрет ${\displaystyle s}$ = ${\displaystyle p_{b}}$ × ${\displaystyle P_{A}}$, ключи шифрования ${\displaystyle k_{ENC}}$ и имитовставки ${\displaystyle k_{MAC}}$.
• При помощи ключей шифрования ${\displaystyle k_{ENC}}$ и имитовставки ${\displaystyle k_{MAC}}$ вычислить тэг сообщения и сравнить его с полученным тэгом. Если они не совпадают, Боб должен отклонить сообщение из-за неудачи в процедуре проверки MAC.
• Если тэги окажутся одинаковыми, то Боб может продолжить процесс, расшифровывая зашифрованное сообщение ${\displaystyle c}$, используя симметричный алгоритм Encryption и ${\displaystyle k_{ENC}}$.

Безопасность ECIES основывается на вычислительной сложности задачи дискретного логарифмирования в группе точек эллиптической кривой (ECDLP). Криптографические алгоритмы также могут основываться на вычислительной сложности задач факторизации (пример алгоритма: RSA) и дискретного логарифмирования (схема Эль-Гамаля). Однако ECDLP считается сложнейшей^[5] из этих трёх задач, что приводит к важному преимуществу ECIES: размеру ключа.

Сравнение длин ключей ECIES и RSA^[6]

Уровень безопасности (бит)	Длина ключа RSA (бит)	Длина ключа ECIES (бит)
80	1024	160-223
112	2048	224-255
128	3072	256-283
192	7680	384-511
256	15360	512-571

Преимущество в размер ключа позволяет предъявлять меньшие требования к аппаратному обеспечению (например, к размерам буфера, оперативной и физической памяти; к пропускной способности канала в случае передачи ключей по сети).

Важным недостатком ECIES по сравнению с другими криптографическими алгоритмами является существование нескольких версий ECIES, описываемых различными стандартами (ANSI X9.63, IEEE 1363a, ISO/IEC 18033-2 и SECG SEC 1). Различия между данными стандартами — выбор конкретных функций и параметров для реализации составляющих ECIES (KA, KDF, ENC, MAC, HASH). Недостаток заключается в том, что невозможно реализовать версию ECIES, удовлетворяющую всем стандартам^[6].

Виктор Шоуп^[англ.] доказал^[7], что если публичный ключ U не включён во входные данные функции KDF и, если в KDF используется только x-координата разделённого секрета, то ECIES подвержен атакам на основе адаптивного шифротекста (eng. Adaptive Chosen Ciphertext Attacks (CCA2)). Уязвимость названа «мягкой», так как никакая атака не смогла получить значимую информацию с использованием этой уязвимости.

Одно из возможных решений, предложенных Шоупом — добавить публичный ключ U во входные данные функции KDF.

Шоуп также доказал^[8], что схема ECIES может быть уязвима, когда функция XOR используется при шифровании сообщений переменной длины. В частности, это может привести к уязвимости для атак на основе адаптивного шифротекста (англ. Adaptive Chosen Ciphertext Attacks (CCA2)). Возможные решения:

• Зафиксировать длину открытого текста^[8].
• Интерпретировать выходные данные функции KDF как ${\displaystyle k_{MAC}}$||${\displaystyle k_{ENC}}$^[9].
• Запретить использование потоковых фильтров в ECIES (разрешить только блочные шифры)^[10].

Данный тип атак возможен, когда противник специально предоставляет неверный публичный ключ. Если отправитель не проверяет подлинность публичного ключа другой стороны, то противник сможет подменить публичный ключ на ключ меньшего размера с целью получения разделённого секрета или получения информации о закрытом ключе отправителя. Возможные решения:

• Проверять правильность публичного ключа, предоставленного принимающей стороной^[11].
• Заменить разделенный секрет на его хеш во входных данных функции KDF^[11].

Пример^[12] эффективной и безопасной реализации ECIES, совместимой со стандартами IEEE 1363a и ISO/IEC 18033-2:

• KA: Протокол Диффи — Хеллмана
• Hash: SHA-512 (SHA-256 для устройств с ограниченными ресурсами).
• KDF: KDF2.
• ENC: AES-128 в режиме сцепления блоков CBC mode.
• MAC: HMAC-SHA-512 (HMAC-SHA-256 для устройств с ограниченными ресурсами).
• Разделение секрета: Использовать только первую координату (без хеширования).
• Интерпретация выходных данных KDF: ${\displaystyle k_{MAC}}$||${\displaystyle k_{ENC}}$.
• Схема генерации эллиптической кривой: Brainpool (RFC 5639).

• Víctor Gayoso Martínez, L. Hernández Encinas, Carmen Sánchez Ávila. A Survey of the Elliptic Curve Integrated Encryption Scheme (англ.).
• Victor Shoup. A Proposal for an ISO Standard for Public Key Encryption (version 2.1) (англ.).
• Neha Gupta, Harsh Kumar Singh, Anurag Jain. An Efficient Implementation For Key Management Technique Using Smart Card And ECIES Cryptography (англ.).
• V. Gayoso Mart´ınez, F. Hernandez Alvarez, L. Hernandez Encinas. Information Processing and Coding (англ.).
• N. Koblitz. Elliptic curve cryptosystems (англ.) // Mathematics of Computation.
• J. Stern. Evaluation report on the ECIES cryptosystem cryptosystems (англ.). Архивировано 1 февраля 2013 года.
• J. Quisquater, F. Koeune,. ECIES - Security evaluation of the encryption scheme and primitives (англ.). Архивировано 31 марта 2017 года.
• V. Gayoso Martínez, L. Hernández Encinas, A. Queiruga Dios. ECIES - Security evaluation of the encryption scheme and primitives (англ.).