Bessels olikhet

Bessels olikhet (efter Friedrich Wilhelm Bessel) är inom matematik, speciellt funktionalanalys, en olikhet som beskriver hur element i inre produktrum förehåller sig till ortonormala följder.

Om ${\displaystyle H}$ är ett inre produktrum och ${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3},...}$ en ortonormal följd i ${\displaystyle H}$, så gäller det att för alla ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle H}$ att:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}\leq \|x\|^{2}}$

där ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ är den inre produkten.^[1] Bessels olikhet ger att summan

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\langle x,e_{k}\rangle e_{k}}$

konvergerar.

Referenser